Перед написанием слова "по-новому" ("по новому") очень важно, проанализировав весь контекст, понять, является "новому" частью наречия или формой имени прилагательного. В зависимости от этого мы и принимаем решения по поводу необходимости дефиса или раздельного написания. Слитно не пишется никогда. В частности, мы задаём один из двух вопросов (как? или по какому?), наиболее подходящий. На это и ориентируемся.
Примеры с пояснениями:
"Если взглянуть по-новому на любое явление, то можно увидеть его с новой стороны, по-другому". Дефис после "по-" поставлен, потому что задаваемый вопрос является наречным: "как? - по-новому". Наречия с "по-" и на "-ому" без дефиса не пишутся. Элемент "по", будучи приставкой, в нашем случае приобретает не классическое слитное написание, а через чёрточку, что является большим своеобразием и отличает подобные наречия от всех других слов.
"Мы двигались по новому маршруту, так как нам интересно стало пойти по новому пути". Написали "по новому" оба раза в предложении раздельно, потому что заданный вопрос показал, что перед нами прилагательное: "по какому? - по новому". Дефис не нужен, так как наречия здесь нет.