Для начала определимся со значением слова. Саванна – это тропическая степная зона, покрытая травой и редкими высокими деревьями, а также кустарниками.
Саванна – географический термин, но не имя собственное, не название. Поэтому пишется оно всегда с маленькой (строчной) буквы.
Например: в саванне водятся травоядные животные – зебры, носороги, слоны, антилопы, - а также хищники.
А вот про удвоенную «н» забывать нельзя. Проверить их нельзя, нужно просто запомнить. В родительном падеже множественного числа удвоенная «н» сохраняется (Например: много саванн, в зоне саванн)