Правильно писать слово «проспи» раздельно с отрицательной частицей «не».
Слово «проспи» является глаголом, которое образуется от слова «проспать». Правила правописания глаголов и отрицательных частиц «не» несложные: если слово существует в русском языке как самостоятельное без «не», то с ней пишется всегда раздельно.
Примеры предложений.
Завтра очень важный день, поэтому не проспи.
Не проспи ужин, так как потом уже нигде не сможешь покушать.