В большинстве случаях правильно писать слово «российский» с маленькой буквы, но возможны редкие случаи, когда нужно писать его с большой буквы.
Обычно слово «российский» используется как нарицательное существительное, т.е. как обычное слово, поэтому его и пишут с маленькой буквы.
Примеры предложений.
В окне я увидел российских спортсменов.
В деревне я увидел российскую действительность.
Когда же данное слово используют в названиях, тогда оно пишется с большой буквы.
Примеры предложений.
Мне нужно заехать в Российское объединение болельщиков.