Писать слово «негодование» правильно только слитно с отрицательной частицей «не».
Раздельный вариант невозможен, так как если убрать отрицательную частицу «не», то получим слово «годование». А данного слово в русском языке не существует, поэтому и раздельный вариант ни при каких условиях невозможен.
Примеры предложений.
Твое негодование мне непонятно.
Поступок брат привел меня в полное негодование.