Как правильно пишется: «январский» или «январьский»?

Правильно писать слово «январский» без использования мягкого знака. Если посмотреть на другие прилагательные, которые образуются от названий месяцев, то они содержать мягкий знак: декабрь – декабрьский, февраль – февральский, апрель – апрельский, июнь – июньский, июль - июльский и т.д.

Т.е. прилагательное в данном случае образуется от существительного путем прибавления суффикса «-ский» и мягкий знак сохраняется в нём. Но искомое слово является исключением и поэтому мягкий знак в нём мы не пишем.