Имя прилагательное "искренний" образует наречие "искренн(е?о?)", но при этом возникают сложности с написанием его окончания. Дело в том, что само прилагательное, дающее жизнь наречию, не может нам стопроцентно подсказать правильный путь словообразования: в литературе нам встречаются оба варианта - как "искренне", так и "искренно".
Оба слова, как бы они ни были написаны, обозначают одно и то же: откровенно, правдиво, без обмана, открыто, без утайки, честно. Но вариант с гласной "о" в конце - "искренно" - сейчас считается уже устаревшим. В некоторых лексических словарях наречие "искренно" преподносится также с пометой "книжное". Это говорит о том, что употреблять вариант "искренно", в принципе, можно, но при этом необходимо чётко придерживаться ограничений в стилистике. То есть в обычном тексте лучше было бы написать слово "искренне" - это более современный и наиболее стилистически нейтральный вариант.
Примеры предложений:
Василиса говорила настолько искренне, что не поверить ей было нельзя.
Анатолий Владимирович искренне поблагодарил сотрудников за такие тёплые поздравления в его адрес.
Организатор искренне произнёс вступительную речь.