«Во-вторых» ‒ вводное слово, указывает на порядок мыслей. В большинстве случаев вводные слова и обороты в предложении обособляются. Но иногда постановка знаков препинания при вводных словах также зависит от их окружения (Тут можно посмотреть полный список вводных слов в русском языке).
Если перед вводным словом расположен сочинительный союз (а, и, но), они могут как отделяться, так и не отделяться друг от друга запятыми.
Попробуем опустить или переставить вводное слово в другое место предложения так, чтобы его структура не нарушилась. Если это удастся, то запятую после союза ставить нужно. Я планировала отправить подруге посылку к Рождеству, но, во-первых, забыла переписать её новый адрес и, во-вторых, начался сильный дождь.
Если союз образует единство с вводным словом, то запятую перед вводным словом ставить нет никакой необходимости. Обычно так бывает при союзе «а». Во-первых, молодой человек, вы опоздали на урок, а во-вторых, вы не переобулись в сменную обувь. Во-первых, прекрати грубить родителям, а во-вторых, наведи в комнате порядок и убери всю одежду в шкаф.