Сочетание "к счастью" можно назвать предложно-падежным и начать глубже развивать мысль о принадлежности данного сочетания к той или иной части речи, но это будет ошибочным путём анализа, если мы собираемся выяснять условия пунктуационного обособления этой формы.
"К счастью" (устаревший вариант - "к счастию") - это вводное слово (Тут можно посмотреть полный список вводных слов в русском языке). Подобными вводными сочетаниями, только с уточнениями, к чьему именно счастью, можно назвать и "к счастью для него", "к счастью моему" и так далее. Следовательно, все они должны быть выделены запятыми, не являясь дополнениями или какими-либо иными членами предложения.
Варианты, когда сочетание "к счастью", не функционируя как вводная конструкция, отвечает на синтаксический вопрос "к чему?", играя роль дополнения в предложении и не имея отношения к эмоциональной оценке чего-то происходящего, постановки запятых не требуют.
Читайте по теме: Список ложных вводных слов, которые при всем желании не следует выделять запятыми, можно увидеть тут.
Примеры употребления:
"К счастью, Наташа быстро выздоровела".
"Мы отправились погулять, но, к счастью, быстро вспомнили, что не выключили микроволновку и утюг".
"Всё это было нам на радость, а может быть и к счастью". Было к чему? - к счастью. Данное дополнение выделять мы не стали.