В русском языке в зависимости от ситуации применяются оба варианта написания.
Какое правило применяется
Слово «пушкинские» является именем прилагательным, так как обозначает признак предмета.«Пушкинские» образуется от фамилии великого поэта путём добавления суффикса «ск». Далее достаточно обратиться к простому правилу: «Прилагательные, которые образованы от имени собственного при помощи суффикса «ск», следует писать с маленькой буквы».
Но следует помнить про исключения:
1) Если данное прилагательное стоит первым в официальном названии, тогда его следует писать с заглавной буквы.
2) Если словосочетание подразумевает память о ком-либо (Пушкинский музей)
Примеры предложений
1) В нашей школе ежегодно в октябре проводятся Пушкинские чтения.2) В такие морозные и солнечные дни мне всегда вспоминаются известные пушкинские строки.