Слово «первенство» можно писать с большой и маленькой буквы, при этом способ написания зависит от места расположения слова в тексте предложения.
Какое правило применяется
В русском языке с заглавной буквы пишут имена собственные, к ним относятся название городов, ФИО, герои произведений, географические административно-территориальные название и т.п.
Но в данном случае слово «первенство» не является именем собственным, по этой причине его можно писать с большой буквы только в начале предложения, а в его других частях, пишем с маленькой.
Примеры предложений
Я хотел принять участие в первенстве по футболу нашей школы.С завтрашнего дня начнется первенство по баскетболу среди девушек до шестнадцати лет.