Весьма интересный вопрос. Смотря какое значение имеет данное слово. Если оно обозначает родителя мужского пола, то его мы пишем с маленькой буквы, так как относится к нарицательному имени существительному, кроме тех случаев, когда это слово стоит в начале предложения.
Приведём примеры:
Мой папа постоянно занят работой, поэтому редко бывает дома.
Папа пришёл с работы, разделся и принялся читать книгу.
Также слово «папа» обозначает главу римско-католической церкви, т.е., это название должности. А как известно, названия должностей мы указываем с большой буквы, только при официальном обращении на бумаге. В остальных же случаях, только с маленькой буквы, кроме тех моментов, когда данное слово расположено в начале предложения.