Данное словосочетание мы пишем всегда с большой буквы, потому что относится к собственному имени существительному. Эта премия названа в честь крупного шведского учёного Альфреда Нобеля.
Приведём пример:
После того, как писатель получил Нобелевскую премию, он стал популярен у прогрессивной аудитории со всего мира.