Это словосочетание пишется как с маленькой, так и с большой буквы. Слово российская однозначно пишется с заглавной буквы, так как оно означает название нашей страны. Со вторым словом все немного сложнее.
Из истории мы помним, что наше государство до Великой Октябрьской революции носило название Российская Империя. Именно поэтому, оба слова в те времени писались с заглавной буквы.
Но теперь, когда государство под таким названием перестало существовать более ста лет назад, то по правилам русского языка, это словосочетание относится к культурно-историческим терминам. Поэтому, первое слово в любом случае пишется с прописной буквы, а слово империя со строчной.
Следовательно, правильным будет написание Российская империя.