Данное словосочетание пишется со строчной, либо прописной буквы в зависимости от смысла предложения, в котором оно используется. По правилам русского языка, в современном виде словосочетание «российское государство» пишется со строчной буквы. Приведем примеры:
Процесс образования российского государства берет свое начало с XIV века
Основным приоритетом социальной политики российского государства должно стать здоровье граждан: физическое, душевное и социальное благополучие.
С прописной буквы это словосочетание корректно употребить в историческом значении. Пример:
Вопрос присоединения к Российскому государству новых субъектов Федерации носит политический характер.