Примеры решения показательных уравнений.

Уравнение 1

Решить уравнение

6^x=216

Первым действием представим число 216 в виде числа 6 в степени и получим 6³, так как 216=6*6*6.

6^x=6³

В результате данного преобразования, получаем, что основания с левой и с правой стороны равны, а значит их степени тоже можно приравнять и получить решение этого уравнения:

Х=3

Уравнение 2

Решить уравнение

25^x=125

Снова необходимо с лева и с права сделать одинаковое основания, при этом мы воспользуемся дополнительной формулой (b^x)^y=b^xy. Одинаковым основанием будет число 5, так как: 25=5*5, а 125=5*5*5. В итоге получаем следующие уравнение:

5^2x=5³

Дальше приравниваем степени и решаем простое уравнение:

2х=3

Делим левую и правую часть на 2 и получаем ответ:

Х=1,5

Уравнение 3

Решить уравнение

2^4x+1=64

Приводим левую и правую часть к одному основанию, в данном случае это число 2, так как 64=2*2*2*2*2*2. Получаем уравнение в новом виде:

2^4x+1=2⁶

Переходим к решению уравнения:

4х+1=6

4х=6-1

4х=5|:4

х=5:4=1,25

Уравнение 4

Решить уравнение

(3/5)^2x+1=(5/3)^6х+3

Чтобы в данном уравнение сделать одинаковые основания, нужно использовать формулу (a/b)^x= (b /a)^-x. Поэтому получим следующие уравнение:

(3/5)^2x+1=(3/5)^-6х-3

Основание равно, поэтому можно приравнивать степени и решать следующие уравнение:

2х+1=-6х-3

2х+6х=-3-1

8х=-4|:8

х=-2:8=-1:4=-0,25

Уравнение 5

Решить уравнение

3*3^2х+3^2х+2=12*3^x+1

Чтобы решить подобное уравнение, необходимо использовать следующую формулу: А^х*А^у=А^х+у. Получаем в нашем случае следующую формулу:

3*3^2х+3^2х*3²=12*3^x+1

3^2х*(3+3²)=12*3^x+1

3^2х*(3+9)=12*3^x+1

12*3^2х=12*3^x+1|:12

3^2х=3^x+1

2х=х+1

2х-х=1

х=1

Уравнение 6

Решить уравнение

3*2^х+2+6*2^х+1=48

Решаем данное уравнение аналогично уравнению 5.

3*2^х*2²+6*2^х*2¹=48

3*2^х*4+6*2^х*2=48

12*2^х+12*2^х=48

2^х*(12+12)=48

2^х*24=48|:24

2^х=2

х=1

Уравнение 7

Решить уравнение

2*7^5х+2-3*7^х5+1=77

Снова решаем данное уравнение аналогично пятому.

2*7^5х+2-3*7^х5+1=77

2*7^5х*7²-3*7^х57¹=77

2*7^5х*49-3*7^х57¹=77

2*7^5х*49-3*7^х57¹=77

98*7^5х-21*7^х5=77

7^5х*(98-21)=77

7^5х*77=77

7^5х=1

7^5х=7⁰

5х=0

Х=0