При написании слова "не(?)существующий" мы понимаем, что оно, обозначая признак того или иного явления или предмета по соответствующему действию, является действительным причастием. Это слово предложено нам в своей полной форме. Данная грамматическая характеристика важна, поскольку от этого орфография слова "не(?)существующий" во многом и зависит.
Если предположить, что слитное или раздельное написание мы для данного слова должны выбрать, когда оно находится как бы вне контекста (например, представлено как фрагмент словарного диктанта), то тогда мы стремились бы к слитному написанию. Такой вариант возможен и в позиции "в контексте", если в конкретном предложении, которое мы разбираем, нет зависимых от "не(?)существующий" слов (это такие слова, к которым от нашего слова были бы корректны вопросы: "сколько?", "из-за чего?" и так далее). В высказывании со слитным написанием данного причастия не должно быть также противопоставления признака существования с другими, а также говорящего само за себя отрицания этого же признака. Причастие "несуществующий" при этом несколько адъектируется, становясь похожим на прилагательное.
Если условия, о которых мы высказались выше (отрицание, зависимое слово, противопоставление), в предложении всё-таки имеются, то написание сочетания "не существующий" становится раздельным.
Примеры предложений:
"Вы три дня оперируете не существующими на самом деле фактами, а вымышленными".
"Студент упомянул в ответе вовсе не существующее в языке явление".
"Несуществующий роман невозможно найти в библиотеке".