Сочетание (на) бегу непростое, так как неочевидно, чем в нем является «на»: приставкой или предлогом, и в результате в тексте предложения можно увидеть оба заданных в вопросе варианта: на бегу, набегу.
Поэтому давайте разберемся, как пишется слово (на) бегу: слитно или раздельно.
В русском языке существует существительное «бег», используемое в значение: состязание на скорость, гонки на скорость и т.п. При добавлении «на» оно преобразуется в наречное сочетание (на) бегу. Так как между «на» и словом «бегу» можно поставить вопрос, например, на каком бегу, и в результате не поменяется смысл, то его правильно писать раздельно.
Правильный ответ: на бегу.
Примеры предложений.
Ты все на бегу, а когда же начнешь отдыхать.
Кушать на бегу не очень полезно, остановись и спокойно поешь свою булку.
Дополнительно можно выделить, что в русском языке существует глагол и существительное в дательном падеже набегу, но они практически не используются в таком виде. Распознать их просто, они отвечают на вопросы «что сделаю?» или «чему?».